ラング「解析入門」第8章§3（一般の指数関数）

§3は，底が一般の実数の場合に指数関数を拡張し，これで指数関数・対数関数の構成が終わる．
といっても，$a^x = e^{x\log a}$と定義してしまうのだが，その定義のおかげで，指数法則を充足するというわけである．そして，こう総括する．

以上の話の教訓というのはこうである：われわれは指数関数$a^x$を正面からとらえることをあきらめ，面倒なところを避けてずっと回り道をし，そして最後にこの関数を―これについて望まれる全ての性質とともに―再発見したのである．

と。最後に，指数・対数に関する極限を導く．この極限は以後も出てくる．

問題の解答

前半は，一般の指数関数に対する，微分計算・接線・グラフである．

後半は，指数関数の微分を使って不等式の証明．問題11～13は続き物．11→12が続き物とは気づかないかもしれないが，気づかなくてもなんとかなる．

問題13は$x$に何を代入すればいいか，パッと気づいたら結構いいセンスではないか．

問題14は丁寧に場合分けする．

問題15は§1の相加・相乗に続き，凸関数の性質の応用．こうやって何度も使うことによって凸関数の性質を当たり前のこととして使いこなせるようになると素晴らしい…．