ラング「解析入門」第1章（数と関数）練習問題解答・解説【詳細な導出とポイント】

第1章は，解析「入門」らしく，中学校～高校の教科書に出てくる基礎的な概念や計算を簡単に復習するコーナーになっている．

§1 整数，有理数および実数

§1には練習問題はない．

整数，有理数，実数と言った数のクラスや，正負，逆数，偶数・奇数について一通りの説明がある．最後は， $\sqrt{2}$ が有理数でないことの有名な証明をする．

実数の大小関係についての基本的な性質（推移律や実数倍）を証明し，絶対値や平方根を定義する．それを基礎に，簡単な不等式の解き方を説明している．

練習問題には，不等式を解く問題が多数あり，ここで十分慣れることができる．問題22以降は，三角不等式を応用する証明と，有名な相加平均・相乗平均の不等式の証明である．どちらも，後続の章で頻繁に使う．

三角不等式

実数 $a,b$ があるとき，以下の不等式が成り立つ．

$|a+b| \leqq |a|+|b|$

相加平均・相乗平均の不等式

実数 $a,b$ （ただし $a,b \geqq 0$ ）があるとき，以下の不等式が成り立つ．（左辺を相加平均・右辺を相乗平均という）

$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$

関数とは何かを説明している．サラッと読み流せば簡単なこと書いてあるわー，で終わる．

関数の例で， $x$ が有理数なら $G(x)=0$ ，無理数なら $G(x)=1$ という例が出てきたが，これはディリクレ関数という有名関数の，0と1を逆さまにしたもの．易しく書いてあっても，こんな例がさらっと顔をのぞかせている．

練習問題の多くは暗算で解ける．関数を定義できる範囲を求める問題も，平方根を計算できない範囲をチェックするだけなので易しい．

絶対値を含む関数の値を求める問題は，場合分けの説明も兼ねて，最初に絶対値を外して整理してから計算する方針で解答してみた．答えを出すだけなら暗算で終わるだろう．

さて，問題11以降が偶関数と奇関数の問題になる．11→12→13と，前の問題がヒントになっている．問題13で証明する，「任意の関数を偶関数と奇関数の和に分解できる」という事実は有名だが，初めて見ると「へー」と思うのではないだろうか．

偶関数と奇関数は，積分の計算を簡単にする術としても重要である．（第10章§2・第11章補充問題（いろいろな問題））．

偶関数と奇関数の定義

学校では「累乗」という事が多いが，この本では一貫して「べき」と言っている．漢字では「冪」「巾」を当て，べき乗と言うこともある．

ここでは，n乗とn乗根を組み合わせた指数法則を取り扱い，より一般的な指数関数の定義は第8章まで待つ．

練習問題は，問題11以外は暗算で解けるレベルである．さすがに問題11の解答は省略．

べきの計算

$a$ を実数， $m,n$ を整数， $p,q$ を有理数とする．

a^0=1\quad a^0=1 \quad a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \quad a^{n/m} = \sqrt[m]{a^n} \quad a^{-p} = \frac{1}{a^p}

(ab)^p = a^pb^p \quad a^{p+q} = a^p a^q \quad a^{p-q} = \frac{a^p}{a^q} \quad (a^p)^q = a^{pq}