ラング「解析入門」第12章解答（いくつかの計算練習）練習問題解答・解説【詳細な導出とポイント】

第12章は，「いくつかの計算練習」となっているが，これまでの微分・積分の総まとめとして，スターリングの公式とウォリスの積公式を証明する．

スターリングの公式は，以下の通り，n!とnⁿを等式でつなぐ公式で，そこにeや $\pi$ も登場する．

n! = \sqrt{2\pi n}n^n e^{-n} e^{\theta/12n} \, (1<\theta <n)

また，ウォリスの積公式は， $\pi$ を有理数の積の極限として表す数々の公式の一つである．

\frac{\pi}{2} = \lim_{n\to\infty} \frac21 \,\frac23 \, \frac43 \, \frac45 \, \frac65 \, \frac67 \cdots \frac{2n}{2n+1} \, \frac{2n}{2n+1}

§1 (n!)^1/nの評価の解答

ここでは，スターリングの公式を示す第1段階として，n!とnⁿの大きさを評価する不等式を導く．

この不等式は，この章のの公式の証明で使うのはもちろんだが，第15章§6で，級数の収束半径を求めるときにも出てくる．

導いた不等式を用いて，n!，nⁿ，eⁿを含む関数の極限を求める． $\displaystyle \frac{\sin x}{x}, \left( 1+\frac1x \right)^x$ の極限と同じように，「同じ変数を含むかたまりを作る」要領で式を変形する．

n!，nⁿ，eⁿの評価

(n-1)! \leqq n^n e^{-n} e \leqq n!

不等式でつながっていたn!, nⁿ, e^-nが，ここで等式として結ばれる（この段階では未知数cが1個残っているのだが）．証明の方針が示され，計算が練習問題とされているので，この計算を埋めるプロセスを解説した．

証明の方針を見ると，φやψの取り方にせよ，その後の展開にせよ，どうやったらこんなことが思いつくのか？と思ってしまう．当時いろいろ溜まっていた知見やらノウハウやらのちょっとした組み合わせだったという話なのかもしれないが．

§3では， $\pi$ を積の極限で表すウォリスの積公式を証明し，スターリングの公式に残された未知数も求まり，証明が完了する．§3も練習として残されている証明の計算過程を解説した．

なお、ステップ1で証明する以下の積分公式は、「ウォリスの積分公式」として有名である．

ウォリスの積分公式

\int_0^{\pi/2} \sin^{2n} x dx = \frac{2n-1}{2n} \, \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac12 \, \frac{\pi}{2} = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \, \frac{\pi}{2}

\int_0^{\pi/2} \sin^{2n+1} x dx = \frac{2n}{2n+1} \, \frac{2n-2}{2n-1} \cdots \frac23 = \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}