ラング「解析入門」第3章§1（曲線の傾き）練習問題解答・解説【詳細な導出とポイント】

第I部の「基礎事項の復習」が終わり，ここから第II部「微分と基本的な関数」になる．

第3章では，微分の直観的な定義に始まり，和・積・商の微分，合成関数の微分，高次導関数と，一通りの微分計算の方法が出てくる（逆関数の微分は第7章に後回し）．

最後に，物体の速度やプールの体積変化といった現実の問題への適用にも触れる．

補充問題も多数あり，かなりのボリュームになる．

§1 曲線の傾き
1. 問題の解答
2. 主な定理・公式
§2 導関数
1. 問題の解答
2. 主な定理と公式
§3 極限
§4 べき
§5 和，積，および商
§6 合成微分律
§7 高次導関数
§8 変化率
補充問題（和，積，および商）
補充問題（合成微分律）
補充問題（変化率）

§1 曲線の傾き

§1ではまず，曲線の傾きや接線を平均変化率の極限としてとらえる考え方を，図を使いながら直観的に説明している．

問題の解答

ラング「解析入門」第3章§1（曲線の傾き）の解答

極限の考え方で微分係数を求める問題となっている．本文ではlimの記号は§2で出てくるのだが，解答を簡潔にするために§1から使った．

主な定理・公式

曲線の傾き

曲線 $y = f (x)$ の点 $(a, f (a))$ における傾きは，以下の式で与えられる．

\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

§2 導関数

§2では，微分係数と導関数の定義・接線・微分可能性について．

この本では，ε-δ論法による極限の厳密な定義は付録に回しているので，ここでは極限を直観的にとらえて計算する．

微分の定義式のlimの中身を「ニュートン商」と呼んでいるが，なかなかお目にかからない単語だった．調べてみると他にも「差分商」「フェルマーの差分商」ともいうようだ．

問題の解答

ラング「解析入門」第3章§2（導関数）の解答

問題1～11では，具体的な多項式関数や分数関数の導関数・微分係数・接線の方程式を求める．

問題12～15は， $x$ の範囲によって表式が変わる関数（絶対値を外す場合分けも含む）について，左右の微分係数を比較して微分可能性を見極める問題．

本文の内容が理解できていれば，計算するだけで難しくはないと思う．

主な定理と公式

導関数と接線

曲線 $y = f (x)$ の導関数 $f'(x)$ の定義は，以下の式で与えられる．導関数を $\displaystyle \frac{dx}{dy}$ とも表記する．

f'(x) \equiv \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

曲線 $y = f (x)$ の点 $(a, f (a))$ における接線の方程式は，以下の通りである．

y-f(a) = f'(x)(x-a) \Leftrightarrow y = f'(x)(x-a) + f(a)

右微分係数と左微分係数

微分係数を求める際，微小量 $h$ を正に限定したものを右微分係数，負に限定したものを右微分係数という．表記は以下の通り．

右微分係数： $\displaystyle \lim_{h\to +0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 　　左微分係数： $\displaystyle \lim_{h\to -0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

関数 $f(x)$ がある $x=a$ で微分係数が存在する条件は,
「 $x=a$ で右微分係数と左微分係数が存在し，かつ両者が一致すること」である．

§3 極限

ラング「解析入門」第3章§3（極限）

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§4 べき

ラング「解析入門」第3章§4（べき）

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§5 和，積，および商

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§6 合成微分律

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§7 高次導関数

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§8 変化率

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補充問題（和，積，および商）

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