ラング「解析入門」第4章（正弦と余弦）練習問題解答・解説【詳細な導出とポイント】

第4章は三角関数について学ぶ．この章の内容はすべて高校数学の復習である．

§1 正弦関数および余弦関数

ここでは手始めに，

といった，三角関数の中でも基本的な性質がテーマになっている．

有名角のsin, cos, tanを，三平方の定理をベースに求める問題と，三角関数の公式の証明．

有名角の三角関数の値を必死に丸暗記するのはあるあるで、それは必要なことだけれども，角度の定義や，円とsin, cos, tanの関係を図を見てゆっくり理解する体験もよいだろう。

sin, cos tanの定義

座標上の点A $(x,y)$ をとり， $r=\sqrt{x^2+y^2}$ とし， $x$ 軸と半直線OAのなす角を $\theta$ とする．このとき，sin, cos, tanを以下の通り定義する．

\sin\theta = \frac{y}{r} \quad \cos\theta = \frac{x}{r} \quad \tan\theta = \frac{y}{x}

このとき， $\displaystyle \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ が成り立っている．また，cosec, sec, cotをそれぞれsin, cos, tanの逆数として定義する．

\text{cosec}\theta = \frac{r}{y} \quad \text{sec}\theta = \frac{r}{x} \quad \text{cot}\theta = \frac{x}{y}

三角関数の公式

三角関数相互の関係として，以下が成り立つ．

\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad \cos(-\theta) = \cos\theta \quad \tan(-\theta) = -\tan\theta

\sin(90^\circ-\theta) = \cos\theta \quad \cos(90^\circ-\theta) = \sin\theta \quad \tan(90^\circ-\theta) = \frac{1}{\tan\theta}

\sin(90^\circ+\theta) = \cos\theta \quad \cos(90^\circ+\theta) = -\sin\theta \quad \tan(90^\circ+\theta) = -\frac{1}{\tan\theta}

\sin(180^\circ-\theta) = \sin\theta \quad \cos(180^\circ-\theta) = -\cos\theta \quad \tan(180^\circ-\theta) = -\tan\theta

三角関数のグラフがテーマになっている．ただ，本文ではsinとcosのグラフの概形をさらっと眺めるだけであり，それだけで練習問題に挑戦するのはかなり苦しい．
この本の中で，本文と問題のギャップが一番大きいのではないか．
高校の教科書で三角関数のグラフを復習してから挑戦する方がよさそうである．

1/cosや1/tanのグラフなど，いくつか通る点を計算してどんな曲線になるか想像しなければならない．さらに，周期性など，関数の性質を要領よく調べ，ポイントを押さえて曲線を描く必要がある．その方法は解答に示したつもりである．

問題6以降は，まずは，三角関数の変数が無限大に発散するとはどういうことか（上下の往復は速くなるが，山の高さは変わらない）をイメージできればよい．そして，はさみうちの原理を使いこなせれば上出来だろう．