ラング「解析入門」第5章（平均値の定理）練習問題解答・解説【詳細な導出とポイント】

第5章は，微分を用いて関数の極大値・極小値（もしあれば最大値・最小値）を求める方法を説明している．

§1 最大点と最小点の定理

§1では，臨界点、最大・最小、極大・極小といった用語を定義し，極大・極小となる点では微分係数が0であることを説明している．

臨界点という言葉はあまり聞かないが，微分係数が0になる点のことを指している．この本では今後もしばしば出てくる．

微分を使って関数の増減や最大・最小を考えるときには増減表がつきものだが，本の説明の順序に合わせ，増減表は§3以降の解答で使うようにした．

問題10までは臨界点を求める問題なので， $y’=0$ の解を求めればよい．

問題11以降は，表面積を拘束条件とする，立体の体積の最大値を求める問題．適宜未知数を置いて表面積の条件と体積を表し，体積から余計な文字を消去して微分に持ち込む．

臨界点・極大点・極小点

微分係数が0となる点を臨界点という
$a<x<b$ であるようなすべての $x$ の集まりを開区間という
$a\leqq x\leqq b$ であるようなすべての $x$ の集まりを閉区間という
一方の端点だけを含める区間（ $a\leqq x< b$ や $a< x\leqq b$ ）を半閉区間という
関数 $f(x)$ が定義されているすべての $x$ に対し， $f(c) \geqq f(x)$ が成り立つとき， $c$ を最大点， $f(c)$ を最大値という．不等号を反転させると最小点・最小値の定義になる．
$a <c< b$ とする．区間 $a \leqq x \leqq b$ のすべての $x$ に対して $f(x) \leqq f(c)$ が成り立つとき， $c$ を極大点（または局所的最大点）， $f(c)$ を極大値という．不等号を反転させると極小点（または局所的最小点）・極小値の定義になる．

閉区間での最大・最小の存在

$f(x)$ を閉区間で連続な関数とすると， $f(x)$ はこの閉区間の中で最大点と最小点をもつ．

臨界点と極大点・極小点の関係

$f(x)$ を開区間 $a <x< b$ で定義され微分可能な関数とし， $c$ をその開区間での極大点または極小点とする．このとき $f'(c)=0$ ．

ここでは平均値の定理を証明する．練習問題はない．本文に，ロルの定理の証明の補充を練習するような記載があるが，正⇔負・最大⇔最小の入れ替えに過ぎないので省略した．

ロルの定理

$f(x)$ を閉区間 $a \leqq x \leqq b$ で連続で，開区間 $a <x< b$ で微分可能な関数とする．
さらに， $f(a)=f(b)=0$ とする．このとき，

a<c<b \quad f'(c)=0

となるような点 $c$ が存在する．

平均値の定理

$f(x)$ を閉区間 $a \leqq x \leqq b$ で連続で，開区間 $a <x< b$ で微分可能な関数とする．このとき，

f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

となるような点 $c$ が存在する．

平均値の定理の応用として，関数の増減判定，極大・極小の求め方，微分を使った不等式の証明，現実の問題への応用が一気に出てくる．平均値の定理は高校では数学IIIの内容だから，高校で文系だと，§2～3の内容は初めてだろう．

この本の用語の使い方として，増加と強増加を明確に区別している．解答では基本的に増加という用語を使い，特に必要な場合は強増加という単語を使った．

このあたりから計算が面倒な問題が混じってくる．特に問題26～27の三角形の問題は，例3の長方形の場合とは計算の面倒さはだいぶ違う．また，三角関数のマクローリン展開・零点の個数の上限・三角形の問題と，平均値の定理の応用の広がりを見られる。

微分係数と関数の増減の関係

$f(x)$ がある区間において，その区間に属する任意の2点 $a,b (a \leqq b)$ で，

$f(x)$ を閉区間 $a \leqq x \leqq b$ で連続で，開区間 $a <x< b$ で微分可能な関数とする．このとき，