ラング「解析入門」第7章§2（逆関数の導関数）

§2は，逆関数の微分公式．次節以降で，逆正弦関数や逆余接関数の導関数を求める布石になっている
$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$という公式は，左辺は$y$で微分していて，右辺は$x$で微分している．
ここがあやふやだと，問題11を間違える．

問題の解答

前半は，多項式関数か簡単な三角関数に対して，与えられた$y$における微分係数を求める問題。第5章§3の問題で使った関数をリユースしている．

後半（問題11）は，まず(a)で逆関数の2回微分を求める．逆関数の微分公式で出てくる$g'(y)$というのは$y$で微分するものなので，$\frac{1}{f'(x)}$を$x$でもう一度微分するだけでは間違う．
定理3の証明も参考に，記号の意味を正しく理解しておく必要がある．

(b)の証明自体はおまけみたいなもので，直ちに出る．
$f$が増加するとき，凸の向きが反対になるというのは，$e^x$と$\log x$を比べればたしかにそうなっているし，逆関数のグラフが直線$y=x$に対象であることからも十分想像がつく．
ちなみに，$f$が減少するときは，同じ論法で凸の向きが同じになるとわかる．